<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          7 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Andr Bolanho e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Terceira Parte

 Unidade 3

 O Conjunto dos Nmeros 
  Racionais :::::::::::::::: 249
 16 -- O conjunto dos 
  nmeros racionais ::::::::: 253
 Mdulo ou valor absoluto de 
  um nmero ::::::::::::::::: 256
 17 -- A reta numrica ::::: 261
 18 -- Adio algbrica de 
  nmeros racionais ::::::::: 272
 19 -- Multiplicao de 
  nmeros racionais ::::::::: 285
 20 -- Diviso de nmeros 
  racionais ::::::::::::::::: 290
 21 -- Potenciao de 
  nmeros racionais ::::::::: 297 
 Propriedades ::::::::::::::: 300 
 Expoente inteiro 
  negativo :::::::::::::::::: 301
 22 -- Raiz quadrada exata 
  de nmeros racionais :::::: 308
<p>
 23 -- Estudo das mdias ::: 317
 Mdia aritmtica e mdia 
  aritmtica ponderada :::::: 317
 Tratando a informao O 
  uso da mdia :::::::::::::: 330
 Retomando o que aprendeu ::: 337

 Unidade 4
 
 Estudando as Equaes ::::: 343
 24 -- Igualdade ::::::::::: 346 
 A sentena matemtica :::::: 347 
 Propriedades da 
  igualdade ::::::::::::::::: 350 
 Princpios de 
  equivalncia :::::::::::::: 351      
 25 -- Equaes :::::::::::: 357
 Conhecendo as equaes ::::: 358
 26 -- Conjunto universo e 
  conjunto soluo de uma 
  equao ::::::::::::::::::: 366 
 Como verificar se um nmero 
  dado  raiz de uma 
  equao ::::::::::::::::::: 374
 27 -- Equaes 
  equivalentes :::::::::::::: 378 
<p>
                             III
 Como reconhecer se duas ou 
  mais equaes so 
  equivalentes :::::::::::::: 378 
 Como escrever uma equao 
  equivalente a uma equao 
  dada: os princpios de 
  equivalncia :::::::::::::: 380
<p>
<84>
<ta c. mat. 7 ano>
<T+249>
 Unidade 3

 O Conjunto Dos Nmeros 
  Racionais

  1+510  maior, menor, igual ou diferente de +1,5?
  -1-510  maior, menor, igual ou diferente de -1,5?

<R+>
 Como se mede a altitude do ponto mais alto
de uma montanha? 
<R->

  Na dcada de 1960 as altitudes dos
maiores picos brasileiros eram estimadas
com o uso de um barmetro.
  Em 2004 uma nova medio foi feita
utilizando-se recursos de modernos
satlites.
  Para o clculo preciso dessas altitudes foi
necessrio escalar as montanhas at seu
ponto mais alto e l colocar um receptor.

<p>
<R+>
 _`[{foto_`]
 Legenda: Barmetro  o instrumento utilizado
para medir a presso atmosfrica.

 O resultado?

 _`[{foto_`]
 Legenda: O Pico da Neblina (AM), antes
estimado com 3.014,1 m, tem sua
nova medida em 2.993,78 m.

 _`[{foto_`]
 Legenda: O Pico das Agulhas Negras (RJ) foi de 2.787 m
para 2.791,55 m, com a nova medio.
<R->

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 19 nov. 2008.

<85>
 O Brasil na II Guerra 
  Mundial

  Em 22 de agosto de 1942 o governo brasileiro declarou
guerra  Alemanha e  Itlia.
<L>
<R+>
 o A Fora Area Brasileira (FAB) participou
da II Guerra Mundial com o 1 
  Grupo de Aviao
de Caa, *o Senta a Pua*, e com a 1 
  Esquadrilha
de Ligao e Observao, a *Olho Nele*.

 o  Marinha coube o patrulhamento do nosso
litoral e escolta de comboios martimos.

 o A Fora Expedicionria 
  Brasileira (FEB) contou
com um efetivo de 25.334 homens.
  Em 1944, a FEB entrou em combate nos Apeninos 
  (Itlia), onde enfrentou um inverno
rigoroso de at vinte graus Celsius negativos.
<R->

 Fonte: ~,www.exercito.gov.br~,
  Acesso em: 19 nov. 2008.

  Conhea alguns navios que
afundaram nas costas brasileiras
na poca da II Guerra Mundial.

<R+>
 _`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
 Navios afundados na costa brasileira

 Legenda:
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Nome do navio
 3 coluna: Comprimento do navio (em metros)

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l  1  _    2     _  3   _
 r:::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 1940 _ Wakama    _ 112,7 _
 r:::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 1943 _ Itapag   _ 119,7 _
 r:::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 1945 _ Elihu B. _ 132,3 _
 l       _ Washburne _        _
 h:::::::j::::::::::::j::::::::j

 Fontes de pesquisa: 
  ~,www.naufragiosdobrasil.~
  com.br~,
e ~,www.naval.com.br~, Acesso em: 21 fev. 2009.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<L>
<86>
 16 -- O conjunto dos nmeros 
  racionais

  Considere as situaes a seguir:

<R+>
 1- O quadro mostra a temperatura mnima e a temperatura mxima registradas em uma
cidade, em determinado dia do ms de julho de 2008.
<R->

 Temperaturas

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Temperatura _ Temperatura _ 
 l   mnima     _   mxima     _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l   -6C     _    +4C    _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j

  O nmero -6  um exemplo de nmero racional inteiro negativo, enquanto o nmero
+4  um exemplo de nmero racional inteiro positivo.
  Convm recordar que:
 o -6=`(-6`)1=-#!a
 o +4=`(+4`)1=+#a

<R+>
 2- Em 2005, de acordo com dados do IBGE
e do Ministrio dos Transportes, o Brasil
tinha uma frota de aproximadamente 40
milhes de veculos. Dessa frota, pouco
mais da metade (12)
estava na regio
Sudeste, enquanto cerca de um oitavo
(18) estava na regio Nordeste.
<R->

  Os nmeros 12
e 18 so exemplos de nmeros racionais positivos escritos na forma
de frao.
  Convm lembrar que:
 o #,b=12
 o #,h=18

<R+>
 3- O grfico seguinte mostra a variao, em %, da produo de leite de cinco regies de um
pas, em relao ao ano anterior.
<R->

 _`[{grfico adaptado_`]
 A -- -1,2
 B -- +2,5
 C -- +0,9
 D -- -2,7
 E -- +1,8

  De acordo com o grfico, as regies
B, C e E apresentaram crescimento na
produo de leite, enquanto as regies
A e D mostraram queda na produo.
  Os nmeros +2,5; +0,9 e +1,8
so exemplos de nmeros racionais
positivos escritos na forma decimal.

<87>
  Os nmeros -1,2 e -2,7 so exemplos de nmeros racionais negativos escritos na
forma decimal.
  Convm lembrar que:
 o +2,5=+#;?aj=`(+25`)10 
 o +0,9=+#*aj=`(+9`)10 
 o +1,8=+#,"aj=`(+18`)10
 o -1,2=-#,;aj=`(-12`)10
 o -2,7=-#;=aj=`(-27`)10

  De modo geral, podemos dizer que:

  Todo nmero racional  o resultado de uma diviso de nmeros inteiros,
sendo o segundo nmero diferente de zero, ou seja, todo nmero racional
relativo pode ser escrito na forma ab, com *a* e *b* inteiros e 
b=0.

  Os nmeros racionais, positivos, negativos e o zero formam o conjunto numrico denominado
conjunto dos nmeros racionais relativos. Esse conjunto  representado pela letra
_q (letra inicial da palavra Quociente).

 Mdulo ou valor absoluto de um 
  nmero

  A exemplo do que vimos no conjunto dos nmeros inteiros, temos:
<R+>
 o O mdulo ou valor absoluto do nmero +53  53. Indica-se: _ +53_=53.
<p>
 o O mdulo ou valor absoluto do nmero -37  37. Indica-se: _ -37_=37.
 o O mdulo ou valor absoluto do nmero -2,63  2,63. Indica-se: _ -2,63_=2,63.
<R->

  Quando dois nmeros racionais de sinais contrrios tm o mesmo mdulo, so chamados
opostos ou simtricos.
  Veja alguns exemplos de nmeros racionais opostos ou simtricos:
 o +23 e -23.
 o -3,5 e +3,5.
 o 15 e -15.

<88>
 Exerccios

<R+>
 1. Vtor e Helena partiram de Lages (SC) para um fim de semana de inverno em So 
  Joaquim (SC),
que fica a 76 quilmetros de Lages.

<p>
 _`[{helena diz_`]
  "Em Lages estava
menos frio que aqui.
L a temperatura
estava entre
1 e 2 graus celsius."

 _`[{vitor diz_`]
  "O termmetro
aqui em So Joaquim
marca uma temperatura
entre 1 e 2 graus celsius
negativos."

 Em Lages, o termmetro marcava entre *1*C e *2*C, ou seja, entre *+1*C e *+2*C. Para sermos mais
exatos, o termmetro marcava *`(1+510`)* grau Celsius acima de zero, ou seja, *+1,5*C.
 Em So Joaquim, o termmetro indica uma temperatura entre 1 grau Celsius abaixo de zero e 2 graus Celsius
abaixo de zero, ou seja, entre *-1*C e *-2*C. Mais exatamente, o termmetro indica *`(-1-510`)*
grau Celsius abaixo de zero, ou seja, *-1,5*C.
<L>
 Quais dos nmeros em destaque, no texto anterior, so racionais:
 a) inteiros? 
 b) escritos na forma fracionria? 
 c) escritos na forma decimal?

 2. Escreva a quais conjuntos (_n, _z ou _q) pertencem
os nmeros:
 a) -5 
 b) +7 
 c) +38
 d) -2,7

 3.  correto afirmar que o zero  um nmero
racional?

 4. Usando o smbolo , (pertence) ou  (no
pertence), d a relao entre:
 a) -4 e _n. 
 b) -4 e _z. 
 c) -4 e _q. 
 d) +49 e _n.
 e) +49 e _n.
 f) +49 e _q.
 g) +6 e _n.
 h) +6 e _z.
 i) +6 e _q.
 j) -1,6 e _n.
 k) -1,6 e _z.
 l) -1,6 e _q.

 5. Simplifique os nmeros racionais escritos
na forma fracionria:
 a) +612
 b) +1030
 c) -540
 d) -915
 e) +1640 
 f) -3344

 6. Escreva na forma decimal cada um dos seguintes
nmeros racionais:
 a) -12
 b) +134
 c) +215
 d) -6110
 e) +120
 f) -350
 g) +27100
 h) -396
 i) -2310
<L>
 7. Escreva na forma fracionria irredutvel
cada um dos seguintes nmeros racionais:
 a) +0,9 
 b) -1,5 
 c) -0,25 
 d) +1,8 
 e) -0,002
 f) +5,5
<R->

<89>
 Desafio!

  Troque ideias com os colegas e descubra quantos litros cabem
na jarra.
  Em uma jarra cabe 1 litro de gua, e ainda sobra 13
da jarra para completar. Quantos litros de gua cabem nessa jarra?

               ::::::::::::::::::::::::

 17 -- A reta numrica
  
  J sabemos que os nmeros inteiros podem ser representados em uma reta numrica. O
mesmo ocorre com os nmeros racionais relativos, como veremos nos exemplos a seguir.

<R+>
 1- Representar na reta numrica o nmero racional +13.

 Sabemos que o nmero +13 est localizado entre os nmeros inteiros 0 e +1.
 Ento, vamos dividir o segmento ^c?A{b* em 3 partes iguais e considerar uma dessas
partes, a partir do ponto A, para a direita.

<F->
       A   C    B    
::w::::w::::w:::::w::::::w::
 -1   0   _    +1    +2
            _
         +13 
<F+>

 O ponto C chama-se imagem geomtrica do nmero racional +13. O nmero +13  chamado abscissa do ponto C.

<p>
 2- Representar na reta numrica o nmero racional -0,7.

 Vamos considerar que -0,7=-710 (forma fracionria). O nmero -710 est localizado
entre os nmeros inteiros -1 e 0. Ento, vamos dividir o segmento ^c?A{d*, que
vai de -1 at 0, em dez partes iguais:

<F->
       A  E    D    
::w::::w:::w:::::w::::w:::::w::
 -2  -1  _     0  +1   +2
           _
    -710 `(-0,7`) 
<F+>

 O ponto E  a imagem geomtrica de -0,7. O nmero -0,7  a abscissa do
ponto E.

<90>
 3- Representar na reta numrica o nmero racional +114.

 Vamos escrever o nmero +114 na forma mista: +114=+2#c4.
 Esse nmero est localizado entre os nmeros inteiros +2 e +3. Ento, vamos dividir
o segmento ^c?M{n* em 4 partes iguais:

<F->
                      M P N          
::w:::w:::w:::w:::w:::w::w::w:::
 -3 -2 -1  0 +1 +2 _ +3
                         _
                  +2#c4=+114
<F+>

 O ponto P  a imagem geomtrica de +114, e +114  abscissa do ponto P.

 Exerccios

 1. Observando a reta numrica racional, indique:

<F->
   S      B  C A  R P    M
:w:w:w:w:w:w:w:w::w:w:w::w:w:w:w:
-2   -1    0    +1    +2 +3  
<F+>

 a) o ponto que corresponde ao nmero +43 `(ou +1#a3`).
<p>
 b) o nmero racional que corresponde ao
ponto B.
 c) o nmero racional que corresponde ao
ponto S.
 d) o ponto que corresponde ao nmero +23.
 e) o ponto que corresponde ao nmero +3.

 2. Observe a reta numrica e responda:

<F->
   E  B      C    A    D
:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:w:
-3 -2 -1  0 +1 +2 +3 +4 
<F+>

 a) Qual  a abscissa do ponto A?
 b) Qual  a abscissa do ponto B?
 c) Qual  a imagem geomtrica do nmero +72 `(ou +3#a2`)?
 d) Qual  a imagem geomtrica do nmero -52 `(ou -2#a2`)?
 e) Qual  a abscissa do ponto C?

 3. Represente na reta numrica os pontos: (Sugesto:
faa no caderno segmentos de 3 cm.)
 a) A, de abscissa +0,9.
 b) B, de abscissa -35.
 c) C, de abscissa +73.
 d) D, de abscissa -1,4.
 e) R, de abscissa +3.
 f) S, de abscissa -94.

 4. Represente na reta numrica dois pontos
opostos ou simtricos em relao  origem, indicando
a abscissa de cada ponto.
<R->

<91>
 Desafios!

  Saresp  a sigla do Sistema de Avaliao de Rendimento Escolar do Estado de So Paulo. Com um
colega, resolva as questes desse sistema de avaliao apresentadas a seguir.

<R+>
 1. (Saresp) Das comparaes a seguir, qual  a
verdadeira?
 a) 0,40<0,31
 b) 1<12
 c) 0,4>410
 d) 2>1,9

 2. (Saresp) Joana e seu irmo esto representando
uma corrida em uma estrada assinalada
em quilmetros, como na figura a seguir:

<F->
        A           B
:::w::::o::::w::::::o::w:::
   0         1 km      2 km
   _   
Partida
<F+>

 Joana marcou as posies de dois corredores
com os pontos A e B. Esses pontos A e B representam
o que os corredores j percorreram,
respectivamente, em km:

 a) 0,5 e 1#c4.
 b) 0,25 e 104.
 c) 14 e 2,75.
 d) 12 e 2,38.

 Brasil Real

 wr Geografia e Histria

 1. A tabela indica a variao, em porcentagem, da produo industrial brasileira em relao
ao ms imediatamente anterior, de janeiro a setembro de 2008.

_`[{tabela *Produo industrial 2008* adaptada em duas colunas: Ms -- Variao em relao ao ms anterior_`]

 Janeiro -- 1,8%
 Fevereiro -- -0,5% 
 Maro -- 0,4%  
 Abril -- 0,2%  
 Maio -- -0,5% 
 Junho -- 2,9%  
 Julho -- 1,4%  
 Agosto -- -1,3% 
 Setembro -- 1,7% 

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 19 jan. 2009.

 a) Em quantos meses a produo industrial
apresentou queda em relao ao ms anterior?
 b) Em quantos meses houve crescimento?
 c) Em qual ms o crescimento foi maior?
 d) Dos nmeros racionais apresentados na
tabela, qual  o maior? E qual  o menor?
 e) Coloque os nmeros racionais da tabela
em ordem decrescente.

 _`[{foto_`]
 Legenda: Produo de avio em So Jos dos Campos (SP).

<92>
 2. Na dcada de 1960, as altitudes dos maiores picos brasileiros eram estimadas com o auxlio
de um barmetro. Em 2004 foi realizada uma reviso das medidas dessas altitudes, utilizando-se
a tecnologia dos satlites. A tabela a seguir mostra as medidas antigas e novas dos principais
picos brasileiros.

 _`[{tabela *Novas medidas para os pontos brasileiros mais altos* adaptada: Nome -- Localidade -- 
Altitude antiga (em metros) -- Altitude nova (em metros)_`]

 Pico da Neblina -- Serra Imeri (AM) -- 3.014,1 -- 2.993,78
 Pico 31 de Maro -- Serra 
  Imeri (AM) -- 2.992,4 -- 2.972,66
 Pico da Bandeira -- Serra do Capara (MG) -- 2.889,8 -- 2.891,98
 Pico da Pedra da Mina -- Serra da Mantiqueira (MG) -- 2.770,0 -- 2.798,39
 Pico das Agulhas Negras -- Serra da Mantiqueira (RJ) -- 2.787,0 -- 2.791,55
 Pico do Cristal -- Serra do Capara (MG) -- 2.780,0 -- 2.769,76
<p>
 Monte Roraima -- Serra de 
  Pacarama (RR) -- 2.739,3 -- 2.734,06
 _`[{fim da tabela_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 30 mar. 2007.

 De acordo com os dados da tabela, faa o que se pede:
 a) Determine a diferena entre a altitude antiga e a nova dos principais picos
brasileiros.
 b) Quantos picos apresentam medida inferior na nova medida de altitude?
 c) Quais os picos que apresentam medida superior na nova medida de altitude?
 d) Qual dos picos apresenta maior diferena na nova medio das altitudes? Essa
diferena  para mais ou para menos?
 e) Qual dos picos apresenta menor diferena na nova medio das altitudes?
<p>
 f) Coloque os nmeros racionais que representam a medida das altitudes antigas
em ordem crescente.
 g) Em qual estado est localizado o pico brasileiro mais alto?

 _`[{foto_`]
 Legenda: Pico da Bandeira (MG).

 _`[{foto_`]
 Legenda: Monte Roraima (PR).

               ::::::::::::::::::::::::

<93>
 18 -- Adio algbrica de 
  nmeros racionais
<R->

  Para calcularmos a soma algbrica de dois ou mais nmeros racionais, devemos aplicar
os conhecimentos j adquiridos at aqui.
  Vamos considerar os seguintes exemplos:

 1- Calcular -58+310.

 _`[{o menino diz:_`]
  "Primeiro,
transformamos as
parcelas em fraes
equivalentes que
tenham o mesmo
denominador.
  Para encontrar o
resultado, mantemos
o denominador
comum e adicionamos
algebricamente os
numeradores."

 -58+310=-2540+1240=
  =?-25+12*40=-1340

<R+>
 2- Vamos calcular -1,9+2+
  +3,25-1,45.

 -1,9+2+3,25-1,45=
  =2+3,25-1,9-1,45=
  =+5,25-3,35=
  =+1,90

 3- Determinar o valor da expresso 13-`(-12+34`)+
  +`(-1+56`).

<p>
 :> eliminamos os parnteses
 :> transformamos as parcelas em fraes equivalentes que tenham o denominador comum.

 13-`(-12+34`)+`(-1+56`)=
  =13+12-34-1+56=
  =412+612-912-1212+
  +1012=
  =?4+6-9-12+10*12=-112

<94>
 4- Calcular o valor da expresso 1,6-`(-2,8`)+`[1,9-`(-5,6+
  +8,1`)`].

 :> eliminamos os parnteses
 :> eliminamos os colchetes

 1,6-`(-2,8`)+`[1,9-`(-5,6+8,1`)`]=
  =1,6+2,8+`[1,9+5,6-8,1`]=
  =1,6+2,8+1,9+5,6-8,1=
  =+11,9-8,1=+3,8

 5- Quantos graus aumenta a temperatura quando ela passa de -12,7C para -2,5C?
  Para saber quantos graus a 
<p>
  temperatura aumenta nesse caso, devemos fazer:

 tf (temperatura final) 
  -ti (temperatura inicial)

 Sendo tf=-2,5C e ti=-12,7C, ento:
  `(-2,5`)-`(-12,7`)=-2,5+12,7=
  =10,2
 A temperatura aumenta 10,2C.

 Exerccios

 1. Calcule:
 a) -34+56
 b) +2,35-3 
 c) -14+310
 d) -0,48-1,6 
 e) +1,55+4,75
 f) -76+89
 g) +7,35-10
 h) -2,91+3,07

<p>
 2. Quais so os valores das expresses seguintes?
 a) 23+56-12
 b) 1-0,47-1,9+0,63
 c) -4,7+2-1,75+1,48
 d) 79-56-23+12

 3. A  igual  soma algbrica dos outros trs
nmeros a seguir. Qual  o valor de A?

 !:::::::::::::::::
 l +4,75  +7,21  _
 l   A    -10,92 _
 h:::::::::::::::::j

 4. Qual  o aumento da temperatura quando
ela passa de:
 a) +11,8C para +23,5C?
 b) -8,5C para +1,5C?

 5. So dados os nmeros x e y tais que
x=-0,67 e y=-0,75. Determine o valor de:
 a) x+y
 b) x-y
 c) 1-x-y

 6. Em uma reta numrica, um ponto A est
situado a -10,75 m de um ponto P, e um ponto
B, tomado sobre a mesma reta, est a +13,65 m
de P. Qual  a distncia do ponto A ao B?

 7. Determine o valor da expresso a-b+c,
sabendo que:
 a=-1,75
 b=+3,6
 c=-4,21

 8. s 12 horas de um determinado dia, os
termmetros de uma cidade registraram uma
temperatura de +3,5C. Das 12 s 18 horas, a
temperatura desceu 6 graus. Qual a temperatura
registrada s 18 horas nessa cidade?
 9. Qual  o menor nmero inteiro que  maior
que o nmero racional expresso por
2,5-`[0,2+
  +`(-3,7+5`)-1,4`]?

<95>
<p>
 Brasil Real

 wr Esporte e Histria

 1. Em 2006, o Brasil venceu o Campeonato Sul-Americano
de Atletismo, disputado na 
  Colmbia, conquistando 54 medalhas (26 de ouro, 11 de prata e 17 de bronze), somando 498 pontos.
Em segundo lugar ficou a Colmbia, com 37 medalhas (9 de ouro, 18 de prata e 10 de bronze),
somando um total de 317 pontos. A 
  Argentina ficou em terceiro, com 13 medalhas (5 de ouro, 3
de prata e 5 de bronze) e 151 pontos.
 a) Organize os dados apresentados em uma
tabela.
 b) Faa um grfico de barras mostrando as
quantidades de medalhas de ouro, prata e
bronze conquistadas pelo Brasil, 
  Colmbia e
Argentina no Campeonato Sul-Americano de Atletismo de 2006.
<R->
<L>
  O atletismo  uma competio que envolve vrias
modalidades:
<R+>
 o Corrida rasa: de 100, 200, 400, 800, 1.500, 5.000 e 10.000 metros;
 o Corrida com barreiras: de 110 e 400 metros;
 o Corrida com obstculos: 3.000 metros;
 o Revezamento: 4100 e 4400 metros;
 o Marcha Atltica: 20.000 metros;
 o Saltos: altura, distncia, triplo e com vara;
 o Arremessos/Lanamentos: peso, disco, dardo e martelo;
 o Prova combinada: decatlo (masculino) e heptatlo (feminino).
<R->

  O lanamento de dardos  uma das provas mais
antigas do atletismo, foi disputado nos primeiros 
Jogos Olmpicos da Era Moderna, realizados na Grcia.

<R+>
 2. Nos Jogos Olmpicos da Era Moderna, a primeira
meno que se tem da prova de dardo 
em 1886, quando o sueco A. Wiger estabeleceu
o recorde mundial com a marca de 33,81 m.

Nos jogos de Atenas, em 1906, outro sueco,
Eric Kleinning, saiu vencedor, com a marca de
53,89 m.
  Nas Olimpadas de 2008, a vencedora da prova
de lanamento de dardos foi Barbara 
  Spotakova,
da Repblica 
  Tcheca, com a marca de
  71,42 m. Na prova masculina dessa modalidade,
venceu o noruegus Andras Thor Kildsen,
com a marca de 90,57 m.

 Fonte: ~,http:olimpiadas.uol.~
  com.br~, Acesso em: 27 nov. 2008.

<p>
 a) Qual a diferena, em metros, entre as distncias
do arremesso de dardos efetuado pelo
campeo de 1886 e o campeo de 1906?
 b) Nas Olimpadas de 2008, quantos centmetros
o atleta masculino fez a mais que a atleta
feminina, no arremesso de dardo?

<96>
 3. O Trofu Brasil de Atletismo  uma competio anual que tem a finalidade de promover o
intercmbio entre as associaes que praticam o Atletismo no Brasil. A tabela a seguir mostra
o desempenho feminino na prova de lanamento de dardos, no Trofu Brasil de 2008.

<p>
 _`[{tabela *Desempenho feminino -- lanamento de dardos (2008)* adaptada: Colocao -- Atleta -- Clube -- Marca (em metros)_`]
 1 -- Alessandra Nobre Resende -- Atletismo BM&f -- 53,95
 2 -- Jucilene Sales de Lima -- Atletismo BM&f -- 49,88
 3 -- Ana Paula Figueira -- Rede Atletismo -- 46,74
 4 -- Thais Regina Ravazi de Souza -- Paranava/ASEMP -- 43,81
 5 -- Paola Stefani Salgado dos Santos Macedo -- ASPM/Pindamon -- 43,75
 6 -- Laila Ferrer e Silva -- UNIFOR -- 41,94
 7 -- Caroline de Oliveira -- Rede Atletismo -- 41,46
 8 -- Silvia Aparecida de 
  Oliveira -- EC Pinheiros -- 41,08
<p>
 9 -- Simone Santos de Freitas Cristo -- Rei -- 40,11
 _`[{fim da tabela_`]

 Fonte: ~,www.cbat.org.br~, 
  Acesso em: 14 nov. 2008.

 a) Alessandra Nobre Resende conseguiu arremessar o dardo mais distante que Eric 
  Kleinning?
Qual a diferena entre as marcas dos dois atletas? Quantos anos se passaram entre os
dois feitos?
 b) Considere os dados da tabela. Supondo que cada atleta arremessasse o dardo do local onde
o dardo da atleta anterior tivesse cado, qual a distncia entre o local de arremesso da primeira
colocada e o da ltima colocada?
 c) Indique com um nmero racional a diferena entre a marca de Alessandra Nobre Resende,
obtida no Trofu Brasil de 2008, e a marca conseguida por 
<p>
  Barbara Spotakova nas Olimpadas
de 2008.
<R->

 Desafio!

  Troque ideias com os colegas e complete no caderno, com nmeros racionais, as Cruzadas substituindo
as lacunas por nmeros que tornem as igualdades verdadeiras.

 !:::::::::::::::::::::::::
 l ...   _ + _ #,b _ = _ #:d   _
 r:::::::w:::w:::::w:::w:::::::w
 l +     _   _ +   _   _ +     _
 r:::::::w:::w:::::w:::w:::::::w
 l ...   _ + _ ... _ = _ ...   _
 r:::::::w:::w:::::w:::w:::::::w
 l =     _   _ =   _   _ =     _
 r:::::::w:::w:::::w:::w:::::::w
 l #,,ab _ + _ ... _ = _ #;:ab _
 h:::::::j:::j:::::j:::j:::::::j

  Depois, escreva os nmeros na forma decimal e confira os clculos usando uma calculadora.
Discuta com os colegas como o uso da 
<p>
tecla de memria pode ajud-los nos clculos.

               ::::::::::::::::::::::::

<97>
 19 -- Multiplicao de nmeros 
  racionais

  Consideremos os seguintes exemplos:

<R+>
 1- Qual  o resultado da multiplicao `(-59`)`(+37`)?

 `(-59`)`(+37`)
 
 :> aplicamos a tcnica do cancelamento
<R->

 `(-53`)`(+17`)=-521

  Como os dois fatores
tm sinais diferentes,
o produto  um
nmero negativo.

<p>
<R+>
 2- Um nmero A  tal que A=`(-2,8`)`(-3,7`). Qual  o valor de A?

 Calculamos o produto dos mdulos.
<R->

<F->
  3,7 :> 1 casa decimal
 2,8 :> 1 casa decimal
::::::
  296
 +74
::::::
10,36 :> 2 casas decimais 
           (1+1)
<F+>
 
 `(-2,8`)`(-3,7`)=+10,36

  Como os dois fatores tm
o mesmo sinal, o produto
 um nmero positivo.

<R+>
 3- Determine o valor da expresso `(-37`)`(+2,1`)-`(+59`)
  `(-32`).

 Inicialmente, vamos escrever 2,1 na forma de frao:

 2,1=2110

 Ento, temos:
 :> efetuamos as multiplicaes
 :> eliminamos os parnteses

 `(-37`)`(+2110`)-`(+59`)
  `(-32`)=
  =`(-31`)`(+310`)-`(+53`)
  `(-12`)=
  =`(-910`)-`(-56`)=
  =-910+56=
  =-2730+2530=
  =?-27+25*30=-230=-115

<98>
 4- Qual  o nmero decimal dado por 2`(-0,75`)-3`(-1,32`)?

 2`(-0,75`)-3`(-1,32`)=
  =`(-1,50`)-`(-3,96`)=
  =-1,50+3,96=
  =+2,46
<R->

<p>
 Exerccios

 1. Calcule: 

  Preste ateno nos sinais dos fatores!

<R+>
 a) `(+25`)`(-23`)
 b) `(-4`)`(-311`)
 c) `(+12`)`(+34`)
 d) `(-58`)`(-0,4`)
 e) `(-6,4`)`(+1,5`)
 f) `(-0,7`)`(-2,1`)

 2. Quanto d:
 a) o dobro de -58?
 b) o triplo de +0,8?
 c) o qudruplo de +76?
 d) o dobro de -6,5?

 3. Calcule:
 a) `(-2`)`(-34`)`(-17`)
 b) `(-79`)`(+27`)`(-16`)
 c) `(-1,5`)`(+0,36`)`(+2,7`)
 d) `(+1,2`)`(+6`)`(+0,65`)
 e) `(-0,8`)`(-0,45`)`(-0,5`)

<p>
 4. Calcule o valor da expresso:
`(-5`)`(-1,8`)-`(+7`)`(+1,2`)

 5. Um mergulhador atingiu uma profundidade
de 6,25 m. Um segundo mergulhador atingiu
o dobro dessa profundidade. Use um nmero
racional relativo para indicar a profundidade
atingida pelo segundo mergulhador.
 6. A cada quilmetro rodado, um carro consome
0,12 L de combustvel. Quantos litros esse
carro vai consumir se percorrer 82,5 km?
 7. Calcule o nmero decimal dado por:
5`(-2,24`)+3`(+3,25`)

 8. Calcule o valor das expresses numricas:
 a) 54`(-49`)+2`(+14`)
 b) 7-5`(+1,5`)
 c) `(-23`)`(+310`)-`(+12`)
  `(-13`)
<p>
 d) `(-0,28`)`(+1,5`)-`(+0,7`)
  `(-0,72`)
 e) 0,625-`(+0,84`)`(+0,6`)
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<99>
 20 -- Diviso de nmeros 
  racionais

  Consideremos os nmeros racionais:

 _`[{a professora diz_`]
  "Ateno!"

<R+>
 +35 e +53 :> `(+35`)
  `(+53`)=+1
 -4 e -14 :> `(-4`)`(-14`)=+1
 +13 e +3 :> `(+13`)`(+3`)=+1
<R->

  Verificamos que existem pares de nmeros racionais cujo produto  +1.

  Quando o produto de dois nmeros racionais  +1, um nmero  o inverso do outro.

  Observe novamente os pares de nmeros considerados:

 _`[{o menino diz_`]
  "+35  o inverso de +53 e vice-versa."
  +35 e +53

 _`[{a menina diz_`]
  "-4  inverso de -14 e vice-versa."
  -4 e -14

 _`[{o menino diz_`]
  "+13  o inverso de +3 e vice-versa."
  +13 e +3

  Vamos, agora, tratar da diviso de nmeros racionais.

<R+>
 1- Calcular `(+#;i`)`(-#c`)

 Como os nmeros esto na forma fracionria, essa diviso pode ser representada
pela multipli-
<p>
  cao do primeiro pelo inverso do segundo. Assim, temos:

 `(+#;i`)`(-#c`)=`(+#;i`)
  `(-#;d`)=-#,f
 `(+#;i`)`(-#c`)=`(+#,c`)
  `(-#,b`)=-#,f

<100>
 2- Calcular `(-9,25`)`(-3,7`).

 Como os nmeros esto escritos na forma decimal, devemos fazer:

 `(-9,25`)`(-3,7`)=`(-92,5`)`(-37`)=
  =+2,5

 3- Qual  o nmero que se obtm dividindo-se +1,5 por +0,6?

 `(+1,5`)`(+0,6`)=`(+15`)`(+6`)=+2,5

 4- Determinar o valor da expresso ?-#=h*~?+#;,b*.

 Como toda frao representa uma diviso, temos:

<p>
 ?-#=h*~?+#;,b*=`(-#=h`)`(+#;,b`)=
  =`(-#=h`)`(+#;ba`)=
 ?-#=h*~?+#;,b*=`(-#=h`)`(+#;,b`)=
  =`(-#,d`)`(+#,c`)=-#,ab

 5- Qual  o valor da expresso `(-6`)`(+0,375`)-`(+#"g`)
  `(-#;g`)?

 `(-6`)`(+0,375`)-`(+#"g`)`(-#;g`)=
  =`(-6`)`(+0,375`)-`(+#a`)
  `(-#,a`)=
  =`(-2,25`)-`(-4`)=
  =-2,25+4=
  =+1,75

 Exerccios

 1. Calcule:
 a) `(+#!g`)`(-#*g`)
 b) `(+#:g`)`(+#,,ad`)
 c) `(-#?bg`)`(-#,}i`)
 d) `(-#?h`)`(+#;?h`)
 e) `(+#g`)`(+2`)
 f) `(-6`)`(+#,;e`)

<101>
<p>
 2. Vamos calcular:
 a) `(+2`)`(-0,5`) 
 b) `(-2,1`)`(-2,8`) 
 c) `(+7,31`)`(-1,7`) 
 d) `(-0,18`)`(+0,36`) 
 e) `(+0,66`)`(+1,1`)
 f) `(-30,4`)`(+4`)
 g) `(-1,44`)`(-0,24`)
 h) `(+6`)`(-2,5`)

 3. Em outubro de 2008, a produo industrial
de uma regio teve queda de -1,8% em relao
ao ms de setembro. A queda no ms de
novembro em relao ao ms de outubro foi
exatamente a metade desse nmero. Qual foi,
em %, essa queda?

 4. Calcule o valor da expresso:

 `(?-#?h*~?+#?ab*`)
  `(?-#;,be*~?+#,be*`)

 5. Quando se divide `(+5`) por `(-12,5`), obtm-se
um nmero x. Qual :
<p>
 a) o triplo de x? 
 b) a metade de x?

 6. Determine o valor das expresses numricas a seguir.
 a) `(-#e`)`(+#"e`)-`(+2`)`(-#?d`)
 b) `(+#"e`)`(-2`)-3`(-#,d`)
 c) `(-5,6`)`(-2,8`)-`(+0,25`)
  `(-0,5`)
 d) #i`(-0,4`)-#?c`(-0,5`)
 e) #;c`(-2`)+`(+#c`)`(-#:h`)-
  -`(+#,d`)`(-#:b`)
 f) `(-1,44`)`(+0,48`)-`(-0,9`)
  `(+1,2`)

 7. Dada a expresso 2-`(+0,8`)`(0,5`), indique
o seu valor:
 a) na forma fracionria.
 b) na forma decimal.

 8. Qual  o nmero x, sabendo que
x=`(+0,2`)`(-0,04`)-3
  `(-1,6`)?
<R->

<p>
 Desafios!

  Troque ideias com os colegas e resolva as situaes a seguir.

<R+>
 1. Marcos gasta 37 do salrio para pagar a prestao da casa. Com a metade do que sobra ele
paga a prestao do carro e ainda fica com R$276,00. Qual o salrio de Marcos?

 2. (Saresp) Veja os preos das fotocpias em uma papelaria.

 _`[{foto: cpia simples R$0,15
  Colorida R$3,60_`]

 Eu tinha R$10,00 e pedi duas cpias coloridas de uma foto. Com o dinheiro restante, quantas cpias
simples poderei pagar?
<p>
 a) 1,8 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 18
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<102>
 21 -- Potenciao de nmeros 
  racionais

  Dado um nmero racional *a* e um nmero inteiro *n*, com n>1, define-se:

 an=aaa...a
 aaa...a = n fatores

  A expresso an chama-se potncia do nmero racional a.

 an
 n = expoente
 a = base

  Veja os exemplos:
<R+>
 o `(+7`)2=`(+7`)`(+7`)=+49
<p>
 o `(-5`)3=`(-5`)`(-5`)`(-5`)=
  =-125
 o `(-23`)2=`(-23`)`(-23`)=
  =+49
 o `(-12`)3=`(-12`)`(-12`)
  `(-12`)=-18
 o `(-0,2`)4=`(-0,2`)`(-0,2`)
  `(-0,2`)`(-0,2`)=+0,0016
<R->

  Lembre-se de que:

  Se o expoente for par, a potncia ser sempre um nmero positivo.
  Se o expoente for mpar, a potncia ter sempre o mesmo sinal da base.

  Observaes:
<R+>
 o Dado um nmero racional *a*, define-se que a1=a.
 `(+8`)1=+8 
 `(-59`)1=-59
 `(+310`)1=+310
 `(+2,7`)1=+2,7

<p>
 o Dado um nmero racional *a*, com a=0, define-se que a0=1.
 `(-5`)0=1
 `(+910`)0=1
 `(-1,5`)0=1
<R->

<103>
  Agora, observe estes exemplos:

<R+>
 1- Determinar o valor numrico da expresso `(-23`)2
  `(-34`)+`(-12`)2.

 :> efetuando as potenciaes
 :> efetuando a multiplicao
 :> eliminando os parnteses

 `(-23`)2`(-34`)+`(-12`)2=
  =`(+49`)`(-34`)+`(+14`)=
  =`(+13`)`(-11`)+`(+14`)=
  =`(-13`)+`(+14`)=
  =-13+14=
  =-412+312=-112

 2- Qual  o nmero racional expresso por `(-0,5`)3-
  -`(-0,5`)2-`(-0,5`)?

 `(-0,5`)3-`(-0,5`)2-`(-0,5`)=
  =`(-0,125`)-`(+0,25`)-`(-0,5`)=
  =-0,125-0,25=0,5=
  =+0,125
<R->

 Propriedades

  So vlidas para o conjunto _q as seguintes propriedades:

<R+>
 o Multiplicao de potncias de mesma base. `(-37`)3
  `(-37`)5=`(-37`)?3+5*=
  =`(-37`)8

 o Diviso de potncias de mesma base. `(+#=e`)9`(+#=e`)7=
  =`(+#=e`)?9-7*=`(+#=e`)2 

 o Potncia de uma potncia. `[`(-23`)2`]5=
  =`(-23`)?25*=`(-23`)10
<R->

<p>
 Expoente inteiro negativo

  Vamos considerar os seguintes quocientes:

 102103 e 103105

  Ambos representam quocientes de potncias de mesma base, com o expoente do dividendo
menor que o expoente do divisor.

<104>
<R+>
 1- Vamos, inicialmente, considerar a expresso 102103.

 Se aplicarmos a propriedade das potncias, teremos:
 102103=10?2-3*=10-1

 Se considerarmos o quociente na forma de uma frao, teremos:

 102103=102103=
  =?1010*?101010=110

 Comparando os resultados, temos que: 10-1=110.
<R->

  Para todo nmero racional *a*, com a=0, temos que a-1=1a.

  Veja os exemplos:

<R+>
 o 2-1=12
 o `(-9`)-1=1-9=-19
 o `(+25`)-1=1~+25=+52
 o `(-710`)-1=1~-710=
  =-107
<R->

<R+>
 2- Consideremos, agora, a expresso 103105.

 Se aplicarmos a propriedade das potncias, teremos:
 103105=10?3-5*=10-2

 Se considerarmos o quociente na forma de uma frao, teremos:

 103105=103105=
  =?101010*?101010
  1010*=
 =103105=103105=
  =1?1010*=1102

<p>
 Comparando os resultados, temos que: 10-2=1102=
  =`(110`)2.
<R->

  Para todo nmero racional *a*, com a=0, temos que a-n=1an=
 =`(1a`)n.

<105>
  Veja os exemplos:

<R+>
 o 6-2=162=`(16`)2=
  =136
 o `(-4`)-3=1`(-4`)3=
  =`(-14`)3=-164
 o `(+25`)-2=1`(+25`)2=
  =`(+52`)2=+254
<R->

  Por esses exemplos, notamos que uma maneira prtica de se indicar uma potncia com
expoente inteiro negativo  escrever o inverso da base e mudar o sinal do expoente. Veja:

 o `(-4`)-3=`(-14`)3
 o `(+25`)-2=`(+52`)2

 Exerccios

<R+>
 1. Escreva na forma de potncia os produtos
seguintes.
 a) `(+910`)`(+910`)`(+910`)
 b) `(-2,4`)`(-2,4`)`(-2,4`)
  `(-2,4`)`(-2,4`)
 c) `(-118`)`(-118`)
 d) `(+0,05`)`(+0,05`)`(+0,05`)

 2. Calcule:
 a) `(-19`)2
 b) `(+14`)2
 c) `(-12`)6
 d) `(-0,7`)3 
 e) `(-411`)0
 f) `(+0,9`)3 
 g) `(+73`)1
 h) `(-4,2`)2
 i) `(-1,4`)2
 j) `(+6,2`)0
 k) `(+65`)2
 l) `(-310`)2

 3. Indique e calcule:
 a) o quadrado do nmero -57.
 b) o cubo do nmero +0,8.
<p>
 c) a quarta potncia de -12.
 d) o quadrado de -2,5.

 4. Sendo x=`(-12`)`(+2`), calcule:
 a) o quadrado do nmero x.
 b) o cubo do nmero x.

 5. Determine o valor das expresses:
 a) `(-#:d`)2`(-#*h`)
 b) `(-#=i`)`(-#=f`)-`(-#?f`)2
 c) 3`(-#,b`)3-`(-12`)`(-#,d`)2
 d) `(-#;e`)2`(-10`)-`(-#;c`)2
  `(+#i`)
 e) `(-#c`)2`(-#;c`)3-`(-#=be`)
  `(+5`)2
 
 6. Qual  o nmero racional que representa o
valor da expresso:
 a) `(-2`)3-`(-0,5`)3?
 b) `(-2`)2-`(-0,5`)2?
 c) `(-2`)2-`(-2)`(-0,5`)+
  +`(-0,5`)2?

<p>
 7. Um nmero A  tal que: A=`(-0,25`)`(-2)2-`(-0,5`)2
  `(-2`)

 Qual  o nmero A?

 8. Qual  o valor da expresso numrica
`(+0,8`)`(-0,2`)2+
  +`(-2,7`)`(-0,3`)2?

<106>
 9. So dados os nmeros a=2-3 e b=4-2.
Qual  o valor do quociente de a por b?
 10. Sendo x=6-1 e y=9-1, determine o valor
da expresso x+y.

 11. Calcule:
 a) 3-2 
 b) 8-2 
 c) `(-4`)-3 
 d) `(-10`)-2 
 e) `(-9`)-1 
 f) 10-3
 g) `(+25`)-1
 h) `(-34`)-2
 i) `(-32`)-3
 j) `(-12`)-5
<L>
 12. Escreva na forma de potncia com expoente inteiro negativo:
 a) 0,01
 b) 0,00001
 c) 0,001
 d) 0,000001

 13. Calcule as potncias e d as respostas na
forma decimal.
 a) `(+56`)2
 b) 10-4 
 c) 2-3 
 d) 4-1

 14. Calcule o valor das expresses numricas:
 a) `(1-23`)-3
 b) `(53-1`)-4
 c) `(13-12`)-2
 d) `(2-45`)-1

 15. _`[{use a calculadora_`] Veja como podemos escrever o nmero 135 em uma adio de potncias:

<p>
 135=12+32+53 :> 1+9+125
 ou
 135=10+32+53 :> 1+9+125

 Com a ajuda de uma calculadora, descubra
como escrever os nmeros a seguir como uma
adio de potncias.
 a) 56 
 b) 154 
 c) 385 
 d) 160

               ::::::::::::::::::::::::

 22 -- Raiz quadrada exata de 
  nmeros racionais
<R->

  Se um nmero representar um produto de dois fatores iguais, ento cada fator ser
chamado raiz quadrada exata do nmero.

  Veja os exemplos:
 o 4 representa o produto 22 
  ou 22.
<L>
  Logo, 2  a raiz quadrada de 4. Indica-se: 4=2.
  Geometricamente, a raiz quadrada exata de um nmero 
expressa pela medida do lado de um quadrado cuja rea  igual
ao referido nmero.

<F->
 !::
 r:w:w 2
 h:j:j
   2
<F+>

<107>
<R+>
 o 19 representa 1313 ou `(13`)2. Logo, 13  a raiz quadrada de 19.

  Indica-se: #,i=#,c.
  
  Geometricamente, temos:

<F->
      #,c
    !:::::
    l     _
#,c l #,i _
    l     _
    h:::::j
<F+>

 o 0,36 representa o produto 0,60,6 ou `(0,6`)2. Logo, 0,6  a raiz quadrada de 0,36.

  Indica-se: 0,36=0,6.
<R->

  Geometricamente, temos:

<F->
          0,6
     !:::::: 
     r:w:w:w:w:w:w
     r:w:w:w:w:w:w
0,6 r:w:w:w:w:w:w
     r:w:w:w:w:w:w
     r:w:w:w:w:w:w
     h:j:j:j:j:j:j
<F+>

  Pelos exemplos dados, notamos que todo nmero quadrado perfeito tem uma raiz quadrada
exata, e  bem simples determinar a raiz quadrada exata de nmeros como 4, 19 e 0,36.
  Estudaremos, agora, como determinar a raiz quadrada exata de outros nmeros que
tambm so quadrados.
  Vamos analisar alguns exemplos:
<L>
<R+>
 1- O nmero 1.024  quadrado perfeito. Determinar sua raiz quadrada exata.

 Vamos fazer a fatorao completa de 1.024.

<F->
1.024 _ 2
  512 _ 2
  256 _ 2
  128 _ 2
   64 _ 2
   32 _ 2
   16 _ 2
    8 _ 2
    4 _ 2 
    2 _ 2
    1 _
<F+>

 1.024=210
 Como 210 pode ser escrito na forma `(25`)2, temos:
1.024=210=`(25`)2=
  =`(32`)2=3232

 Como 1.024=3232, temos, pela definio:
1.024=32

<108>
 2- Determinar a raiz quadrada exata de 81121.

 Vamos fazer a fatorao completa do numerador e do denominador.

<F->
81 _ 3 
27 _ 3
 9 _ 3
 3 _ 3
 1 _  

121 _ 11
 11 _ 11
  1 _ 
<F+>

 #",aba=34112=`(32`)2
  `(11`)2=`(9`)2`(11`)2=
  =`(#*aa`)2=#*aa#*aa
 
 Como 81121=911911, temos, pela definio: #",aba=
  =#*aa.

 3- Qual  a raiz quadrada exata de 4,41?

<p>
 Lembrando que 4,41=441100, vamos fazer a fatorao completa do numerador e
do denominador.

<F->
441 _ 3
147 _ 3 
 49 _ 7
  7 _ 7
  1 _ 

100 _ 2
 50 _ 2
 25 _ 5
  5 _ 5
  1 _ 
<F+>

 441100=?3272*?22
  52*=?`(37`)2*
  ?`(25`)2*=`(21`)2`(10`)2=
  =`(2110`)2=`(2,1`)2=
  =2,12,1
 
 Como 4,41=441100=2,12,1, temos, pela definio: 4,41=2,1
 
<p>
 Exerccios

 1. Observe as seguintes figuras: 

<F->
        6
   !::::::
   r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
6 r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
   r:w:w:w:w:w:w
   h:j:j:j:j:j:j

       23
      !::::
      l  _  _
23 r::w::w
      l  _  _
      h::j::j

          0,7
     yyyyyyy
     yyyyyyy
     yyyyyyy
0,7 yyyyyyy
     yyyyyyy
     yyyyyyy
     yyyyyyy
<F+>
<L>
 Por meio dessas figuras, descubra, geometricamente,
o valor de:
 a) 36 
 b) 0,49 
 c) #i

 2. Determine a raiz quadrada exata dos nmeros
seguintes:
 a) 2.304 
 b) 676 
 c) 1.764 
 d) 2.500

 3. Substitua a letra x pelo nmero racional
positivo que verifica cada uma das seguintes
igualdades:
 a) x2=100 
 b) x2=121 
 c) x2=116
 d) x2=0,0016 
 e) x=25
 f) x=#:!di

<p>
 4. Qual  a raiz quadrada exata de cada um
dos nmeros a seguir?
 a) 12,25 
 b) 12,96 
 c) 30,25 
 d) 29,16 
 e) 0,0784
 f) 0,1024

 5. Sabe-se que a=#,;,aif. Qual  o nmero *a*?
 6. Um nmero  expresso por a10b4. Qual  a
expresso que representa a raiz quadrada desse nmero?
 7. Calcule o valor da expresso:
  441+256-900
 8. Se x representa a raiz quadrada do nmero 64225, qual  o valor do nmero x?

               ::::::::::::::::::::::::

<109>
<p>
 23 -- Estudo das mdias

 Mdia aritmtica e mdia 
  aritmtica ponderada
<R->

  Em uma competio de ginstica, Clara obteve as seguintes notas:

 Notas de Clara

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Modalidade         _ Nota _
 r:::::::::::::::::::::w:::::::w
 l Salto sobre cavalo _ 5,0  _
 r:::::::::::::::::::::w:::::::w
 l Trave              _ 8,0  _
 r:::::::::::::::::::::w:::::::w
 l Solo               _ 5,0  _
 h:::::::::::::::::::::j:::::::j

  Qual a mdia das notas de 
 Clara nessa competio?
  Para responder, devemos considerar dois casos.

<R+>
 1 caso: Os juzes no atribuem pesos diferentes para cada nota.
<R->

  Nesse caso, pode-se calcular a mdia da ginasta adicionando-se as trs notas e dividindo-se 
o resultado por 3, ou seja:

 ?5,0+8,0+5,0*3=18,03=6,0

  A mdia das notas de Clara na competio foi 6,0.
  Dizemos que o valor 6,0  a mdia aritmtica dos nmeros 5,0; 8,0 e 5,0.

  A mdia aritmtica de n nmeros representa a soma de todos os nmeros dividida por n.

<R+>
 2 caso: Os juzes atribuem pesos diferentes para cada nota. Veja a tabela:
<R->

<p>
<R+>
 _`[{tabela *Peso das notas* adaptada em trs colunas_`]
 1 coluna: Modalidade 
 2 coluna: Nota 
 3 coluna: Peso atribudo
<R->

 !::::::::::::::::::::::::
 l Salto sobre _ 5,0 _ 3 _
 l   cavalo     _      _    _
 r::::::::::::::w::::::w::::w
 l Trave       _ 8,0 _ 2 _
 r::::::::::::::w::::::w::::w
 l Solo        _ 5,0 _ 5 _
 h::::::::::::::j::::::j::::j

  Nesse caso, a mdia da ginasta  calculada assim:

<R+>
 ?35,0+28,0+55,0*
  ?3+2+5*=?15,0+16,0+
  +25,0*10=56,010=5,6
<R->

  A mdia das notas de Clara na competio foi 5,6.
  Dizemos que o valor 5,6  a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 5,0; 8,0 e 5,0,
aos quais atribumos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

  A mdia aritmtica ponderada de um conjunto de valores  calculada pela soma dos produtos desses valores por seus respectivos pesos, dividida pela soma desses pesos.

  Com base nos dois casos dados, observamos que o clculo da mdia depende das
regras previamente estabelecidas.

<110>
  Vejamos, agora, as situaes a seguir:
<R+>
 1- Em um elevador havia cinco pessoas. Essas pessoas tinham, respectivamente, 76 kg, 83 kg,
57 kg, 60 kg e 54 kg de massa. Em mdia, qual a massa das pessoas que estavam nesse
elevador?

 ?76+83+57+60+54*5=3305=
  =66

<p>
 Em mdia, as pessoas que estavam no elevador tinham 66 kg de massa.

 2- Solange comprou 7 cadernos por 4 reais cada um e 3 cadernos por 7 reais cada um. Qual
o preo mdio dos cadernos que ela comprou?
  Nesse caso, devemos calcular a mdia aritmtica ponderada, ou seja:

 ?74+37*?7+3*=
  =?28+21*10=4910=4,9

 O preo mdio dos cadernos foi R$4,90.

 Exerccios

 1. Determine a mdia aritmtica de:
 -25 -- -22 -- -13 -- 15 -- 30 
<p>
 2. Qual  a mdia aritmtica ponderada de 8,
15 e 20, com pesos 2, 2 e 1, respectivamente?
 3. Cristina comprou 3 canetas por 21 reais
cada uma e 2 canetas por 12 reais cada uma.
Quanto ela pagou, em mdia, por cada caneta?
 4. Qual  a mdia aritmtica de 23, 16 e 34?

 5. Os jogadores de basquete do Clube da Bola
esto posando para uma foto. Qual  a altura
mdia desses jogadores?

 _`[{foto: 5 jogadores_`]
 1: 1,90 m
 2: 1,99 m
 3: 2,01 m
 4: 2,08 m
 5: 2,12 m

 6. Para preparar um refresco, usam-se 8 copos
de gua mineral, que custa 50 centavos o copo,
e 2 copos de groselha, que custa 85 centavos o
copo. Qual  o custo de cada copo de refresco?
 
 7. Em um torneio hexagonal de futebol de salo
um clube disputou 5 jogos, vencendo dois
deles. Os resultados foram os seguintes:
 4 {" 2 
 3 {" 3 
 2 {" 3 
 4 {" 0 
 1 {" 1

 a) Quantos gols o clube marcou nesse hexagonal?
 b) Quantos gols o clube sofreu nesse torneio?
 c) Qual a mdia de gols que o clube marcou?
 d) Qual a mdia de gols que o clube sofreu?

 8. Uma equipe de voleibol tem 6 jogadores titulares
e 6 jogadores reservas. Trs desses jogadores
tm 20 anos, dois jogadores tm 26 anos,
dois jogadores tm 23 anos, e os demais tm 21
anos, 24 anos, 25 anos, 27 anos e 30 anos. Qual
 a idade mdia dos jogadores dessa equipe?

 9. O professor de Matemtica
estabeleceu o
seguinte critrio para
a mdia do bimestre:
peso 4 para a prova,
peso 3 para a pesquisa,
peso 2 para as lies
feitas e peso 1 para a
participao em aula.
<R->

 _`[{o menino diz_`]
  "Tive nota 6,0 na prova, 8,0 na pesquisa, 7,5 nas lies e 9,0 de participao."

<R+>
 Qual foi a mdia desse aluno no bimestre?

 10. Uma indstria produz um certo produto.
Vendeu 3.500 unidades desse produto por
30 reais cada uma e 8.500 unidades por 24 reais
cada uma. Qual foi o preo mdio desse produto,
por unidade?

<111>
 Brasil Real

 wr Geografia 

 1. O Brasil, em 2005, estava na 70 colocao no *ranking* do IDH. De 1990, at 2005, j subiu
19 posies em 2005; melhorou nos critrios educao e longevidade, mas caiu no critrio renda.
  De acordo com a tabela, responda:
<R->

  O ndice de Desenvolvimento Humano
(IDH)  um indicador elaborado pela
Organizao das Naes Unidas (ONU)
que mede a qualidade de vida das
pessoas em 177 pases.
  Para calcular o IDH de um pas, trs
fatores so levados em considerao:
<R+>
 o o Produto Interno Bruto (PIB) *per capita*
(por pessoa);
 o a sade (expectativa de vida);
 o a educao (taxa de alfabetizao de
adultos e taxa de matrcula escolar).
<R->
  A ONU classifica o IDH de um pas em
alto, mdio e baixo. Quanto maior o valor,
melhor  a qualidade de vida no pas.
  Observe os valores considerados para
essa classificao:
 IDH de 0,800 a 1,000 :> alto
 IDH de 0,500 a 0,799 :> mdio
 IDH de 0,000 a 0,499 :> baixo

<p>
<R+>
 _`[{tabela adaptada_`]
<F->
!::::::::::::::::::::
l Evoluo do IDH _
l    no Brasil      _
r:::::::::::::::::::w
l Ano  _   IDH    _
r:::::::w::::::::::::w
l 1990 _   0,723   _
r:::::::w::::::::::::w
l 1995 _   0,753   _
r:::::::w::::::::::::w
l 2000 _   0,789   _
r:::::::w::::::::::::w
l 2004 _   0,798   _
r:::::::w::::::::::::w
l 2005 _   0,800   _
h:::::::j::::::::::::j
<F+>

 Fonte: ~,www.pnud.org.br~, 
  Acesso em: 9 dez. 2008.

 De acordo com a tabela, responda:
 a) Em qual categoria de IDH o Brasil estava em 2004? E em 2005?
<p>
 b) O IDH brasileiro, em 2005, foi maior ou menor do que em 2004?
 c) A qualidade de vida do brasileiro em 2005 melhorou ou piorou em relao a 2004? Por qu?
 d) Observe o IDH de 2004 e de 2005. Qual teria de ser o IDH mnimo em 2006 para que a mdia
desses trs anos fosse classificada como IDH alto?

 2. O IDH permite avaliar as condies de desenvolvimento de um pas, de uma regio ou de
uma cidade, a partir de seus indicadores de renda, longevidade e educao. O IDH  calculado
determinando-se a mdia aritmtica desses indicadores.
  A tabela seguinte apresenta os indicadores relativos a uma certa regio, medidos em 2005 e 2010:

<p>
_`[{tabela: "Indicadores relativos do 
IDH", adaptada em 3 colunas_`]
 1: Indicador de renda 
 2: Indicador de longevidade
 3: Indicador de educao
 
<F->
!::::::::::::::::::::::::
l   1  _   2  _   3  _
r::::::::w::::::::w::::::::w
l 2005  _ 2005  _ 2005  _
l 0,502 _ 0,615 _ 0,408 _
r::::::::w::::::::w::::::::w
l 2010  _ 2010  _ 2010  _
l 0,420 _ 0,648 _ 0,540 _
h::::::::j::::::::j::::::::j
<F+>

 De acordo com a tabela, calcule o IDH dessa regio referente ao ano de:
 a) 2005 
 b) 2010
<R->

<112>
<p>
 Tratando a informao

 O uso da mdia 

 wr Sade e Esporte

  A Estatstica utiliza vrias medidas para saber as caractersticas de um grupo de dados observados
em um determinado estudo. A mdia aritmtica  uma dessas medidas e  a mais conhecida
no cotidiano:

 _`[{a menina diz_`]
  "A minha mdia em ingls, neste bimestre, foi 7,5."

 _`[{o homem diz_`]
  "Em mdia, eu durmo 9 horas por dia."

 _`[{a mulher diz_`]
  "A renda mdia da minha famlia  de R$3.500,00."

<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Durante 5 dias consecutivos, faa o seguinte
levantamento, anotando os dados obtidos em
uma tabela:
 o Quanto tempo por dia voc assiste  TV?
 o Quanto tempo por dia voc pratica alguma
atividade fsica (brincadeiras do tipo pega-pega,
queimada, jogar futebol, andar de bicicleta
e outros)?
 o Quantas horas voc dorme por dia?
 o Quantas horas voc estuda em casa por dia?

 a) Reproduza as informaes de sua tabela em
um grfico de barras e compare o tempo gasto
em cada atividade.
 b) Qual o tempo mdio que voc dedica a cada
uma dessas atividades?
<p>
 c) Troque o seu grfico com o de um colega e
analise as informaes organizadas por ele.
Nesses 5 dias, quanto tempo seu colega dedicou
para as atividades fsicas? Ficou mais tempo
estudando ou vendo TV? Pense em outras
questes, responda-as
e faa um breve comentrio
para entregar ao seu colega.

 2. O grfico a seguir mostra as alturas, em
centmetros, dos bebs que nasceram no mesmo
dia em uma mesma maternidade.

<p>
 _`[Grfico adaptado_`]
 Nmero de nascimentos do dia

n.o de crianas
<F->
   l
4 pccc
   l   
3 l   
   l   
2 pccccccc
   l         
1 pccccccccccc
   l             
  o------------ Altura
46,0 47 48  51 52 53   em cm
<F+>

 De acordo com o grfico, responda:
 a) Quantas crianas nasceram nessa maternidade
nesse dia?
 b) Quantas dessas crianas nasceram com
mais de 50 centmetros de altura?
 c) Quantas dessas crianas nasceram com 50
centmetros?
 d) Qual  a mdia de altura dessas crianas?

<113>
 3. Conhea as selees de basquete feminina e masculina que representaram o Brasil em Campeonatos
Mundiais de 2006.

 _`[{tabelas em 2 colunas adaptada_`]
 Seleo Brasileira de basquete (2006) time feminino

 Jogadora -- Altura (em metros)
 Adriana -- 1,70
 Helen -- 1,76
 Karen -- 1,77
 Micaela -- 1,80
 Iziane -- 1,82
 Janeth -- 1,82
 Slvia -- 1,83
 Soeli  -- 1,87
 rika  -- 1,97
 Alessandra -- 2,00
 Cntia -- 1,94
 Kelly  -- 1,92

<p>
 Seleo Brasileira de basquete (2006) time masculino

 Jogador -- Altura (em metros)
 Marcelo Magalhes -- 2,00
 Welington -- 1,86
 Murilo -- 2,11
 Jos Estevam -- 2,11
 Leandro -- 1,92
 Marcelo Tieppo -- 1,91
 Alex -- 1,91
 Anderson -- 2,11
 Guilherme -- 2,04
 Caio -- 2,11
 Andr -- 2,06
 Tiago -- 2,11
 _`[{fim das tabelas_`]

 Fonte: ~,www.cbb.com.br
  Acesso em: 24 nov. 2008.
<R->

  O Brasil foi um dos primeiros pases a conhecer o basquetebol. Tambm foi um dos primeiros a conquistar
ttulos internacionais e a sediar competies internacionais dessa modalidade de esporte.
Para conhecer a histria do basquete, acesse o site
~,www.cbb.com.br~, e consulte a janela "Conhea o Basquete".

<R+>
 De acordo com os dados das duas tabelas, resolva as questes:
 a) Qual  a mdia das alturas do time feminino da Seleo Brasileira de basquete de 2006?
 b) Qual  a altura mdia do time masculino da Seleo Brasileira de basquete de 2006?
 c) Na mdia, em 2006 quantos centmetros o time masculino era mais alto que o time feminino?
 d) Qual  a jogadora mais alta dessa seleo?
 e) Qual  a altura da jogadora mais baixa dessa seleo?
 f) Qual  a maior altura dos jogadores desse time masculino? Quantos possuem essa altura?
 g) Qual  a diferena entre a altura do jogador mais baixo e a altura da jogadora mais alta, nessa
ordem? Que tipo de nmero 
<p>
  voc obteve? Explique o seu significado.
 h) Quais jogadoras desse time possuem a mesma altura?
 i) Quantos jogadores dessa seleo masculina possuem altura inferior a 2,0 m?

 Retomando o que aprendeu
 
 Responda no caderno.

 1. Calcule no caderno o valor da expresso
`(0,1-0,01`)`(0,2-0,02`). Qual nmero decimal
foi obtido?
 a) +0,5 
 b) -0,5 
 c) +0,2 
 d) -0,2
 e) +0,4

 2. Qual a distncia de um ponto situado a
-6,35 m do nvel do mar at um ponto situado a 
  -1,5 m do nvel do mar? Suponha que 
os dois pontos conside-
<p>
  rados estejam alinhados verticalmente.
 a) 4,35 m 
 b) 4,45 m 
 c) 4,65 m 
 d) 4,85 m
 e) 4,95 m

<114>
 3. Sabe-se que um nmero racional x  tal
que x=`(-1-1`)`(54-2`)-12. De acordo com
esse dado, o cubo do nmero x vale:
 a) +18
 b) -18
 c) -1
 d) +1
 e) 0

 4. Entre quais nmeros inteiros se situa o resultado
da expresso `(-32-1`)`(32-1`)? 
 a) -3 e -2. 
 b) -2 e -1. 
 c) -1 e 0. 
 d) 0 e +1.
 e) +1 e +2.

 5. Quando x=6-1 e y=6-2, quanto vale
x+y?
 a) +76
 b) -76
 c) +736
 d) -736
 e) +16

 6. Qual  o nmero decimal que representa o valor
da expresso 0,25+0,19`(4-0,80,5-0,5`)?
 a) 0,2 
 b) 0,25 
 c) 0,3 
 d) 0,32
 e) 0,35

 7. Determinando o valor da expresso `[2`(-32`)2-
  -22`]`(-12`)3, vamos encontrar um
nmero inteiro. Esse nmero :
 a) +2 
 b) -2 
 c) +6 
 d) -4
 e) +4

 8. Um nmero x  tal que x=`[-`(-2`)2-9`]`(-1`)100-
  -2`].
Nessas condies, x-1 :
 a) +17
 b) -17 
 c) +7
 d) -7
 e) -1

 9. A distribuio dos alunos de uma classe,
por idade, est na tabela a seguir. Qual a mdia
das idades dos alunos dessa classe?

 Idade dos alunos

 !:::::::::::::::::
 l N.o de _ Idade _
 l  alunos _        _
 r:::::::::w::::::::w
 l   3    _  12   _
 r:::::::::w::::::::w
 l   18   _  13   _
 r:::::::::w::::::::w
 l   9    _  14   _
 h:::::::::j::::::::j
<L>
 a) 13 anos.
 b) 13,1 anos.
 c) 13,2 anos.
 d) 13,4 anos.
 e) 13,5 anos.

 10. Uma equipe A disputou 4 jogos em um
torneio de basquete.
Os resultados desses jogos esto no quadro seguinte.
Veja:

 _`[{quadro_`]
 Equipe A: 106 {" Equipe B: 102
 Equipe A: 125 {" Equipe C: 118
 Equipe A: 95 {" Equipe D: 100
 Equipe A: 104 {" Equipe E: 99
 _`[{fim do quadro_`]

 A mdia de pontos, por jogo, da equipe A nesse
torneio foi:
 a) 103,5 
 b) 104,5 
 c) 105,5 
 d) 106,5
 e) 107,5

 11. Qual o valor da expresso `[-1+`(-12-14+1`)2`]
  `(-34`)?
 a) +54
 b) -54
 c) +45
 d) -45
 e) +4564

 12. Qual  a mdia aritmtica entre os nmeros
-11,6; +13,8; -10,7; -14,2 e +15,4?
 a) +1,36 
 b) -1,36 
 c) +1,46 
 d) -1,46
 e) +1,56
<R->

               oooooooooooo

<115>
<p>
 Unidade 4

 Estudando as Equaes

  *Equi* vem do latim e quer dizer igual; e *valens*, tambm
do latim, significa valor.

  Sabendo disso, pense na palavra:

 Equivalente.

  Aproveite e pense tambm nos significados de:

 Equilbrio, equiltero,
  equidistante, equilibrista.

 Pensou?
  
  Agora, procure no dicionrio o significado de cada uma dessas palavras.

<p>
 Pense rpido:

  Qual  o nmero cujo
triplo mais 6 d 21?

<116>
<R+>
 Um problema de
sade provoca um
achado matemtico!
<R->

  O escocs A. H. Rhind (1833-1863)
viajou ao Egito por problemas de
sade, em busca de clima ameno.
  Advogado e antiqurio, adquiriu um
papiro, datado de aproximadamente
1650 a.C., com textos matemticos.
  Esse achado  uma das joias
matemticas, que contm
85 problemas copiados por Ahmes,
de um trabalho mais antigo.
  O papiro Rhind mede 5,5 m de
comprimento por 0,32 cm de largura.

 Fonte: ~,www.ime.usp.br~, 
  Acesso em: 24 nov. 2008.

<p>
 Voc j ouviu falar em 
  "incgnita"?

  Santos Dumont voou x metros durante y segundos.
  Est curioso para saber quanto o *x* e o *y* valem?
   s calcular x+y=67 e x-2y=46!

  Incgnita  aquilo
que  desconhecido e
se procura saber.

<R+>
 _`[{foto_`]
 Legenda: Santos Dumont com o avio 14-Bis,
no campo de 
  Bagatelle, em 1906.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<117>
<p>
 24 -- Igualdade

  Eva e Ivo fazem aniversrio no mesmo dia. 

 _`[Ivo diz_`]
  "Eu tenho um nmero mpar de anos."

 _`[{eva diz_`]
  "A minha idade tambm  um nmero mpar."

  Descubra as idades de Eva e Ivo. Veja as dicas:

 _`[{ivo diz_`]
  "Eu sou 6 anos mais velho que ela."

 _`[{eva diz_`]
  "A soma das nossas idades  40 anos."

  Para descobrir as idades, faa tentativas!  s
encontrar 2 nmeros mpares cuja diferena seja 6
e a soma, 40.
<L>
  Muitas vezes leva tempo para resolver um problema por tentativas.
  Que tal adotar um mtodo para traduzir os problemas matematicamente e resolv-los?
 o momento de voc aprender alguns desses mtodos utilizando equaes.

 A sentena matemtica

  Usamos sentenas para nos comunicar tanto em uma conversa, quanto na linguagem
escrita.
  Em Matemtica, tambm usamos sentenas, a maioria fazendo afirmaes sobre nmeros.
Nas sentenas matemticas, usamos smbolos no lugar de palavras.

 = (igual a) 
 < (menor que)  
 = (diferente de) 
 <:> (equivalente a) 
 > (maior que)
 :> (implica)

  Uma sentena matemtica em que o smbolo =  usado, representa uma igualdade.

 _`[{o menino diz_`]
  "A soma de dois e cinco  igual a sete."
  2+5=7

 _`[{a menina diz_`]
  "O cubo de dois diminudo de cinco  igual a trs."
  23-5=3

 _`[{outro menino diz_`]
  "A soma dos quadrados de trs e de quatro  igual ao quadrado de cinco."
  32+42=52

<118>
  De modo geral, podemos representar uma igualdade por a=b, em
que *a* e *b* so expresses diferentes para um mesmo nmero.

 o 2+5=7
 2+5 -- a
 7 -- b
<L>
 o 23-5=3
 23-5 -- a
 3 -- b

 o 32+42=52
 32+42 -- a
 52 -- b

  Em uma igualdade:
<R+>
 o A expresso matemtica situada  esquerda do smbolo =  denominada 1 membro da
igualdade.
 o A expresso matemtica situada  direita do smbolo =  denominada 2 membro da
igualdade.
<R->

  Assim:
 o 2+5=7 
 2+5 -- 1 membro
 7 -- 2 membro

 o 23-5=3 
 23-5 -- 1 membro
 3 -- 2 membro

<p>
 o 32+42=52
 32+42 -- 1 membro
 52 -- 2 membro

 Propriedades da igualdade

  Uma igualdade apresenta trs propriedades.

<R+>
 1 propriedade: a=a, para qualquer nmero racional *a*.
<R->

 o 2=2
 o 23=23

  Essa  a propriedade reflexiva.

<R+>
 2 propriedade: a=b <:> b=a, para quaisquer *a* e *b*.
<R->

 o 2+5=7 <:> 7=2+5 
 o 23-5=3 <:> 3=23-5
 o 32+42=52 <:> 52=32+42

  Essa  a propriedade simtrica.

<p>
<R+>
 3 propriedade: se a=b e b=c :> a=c, para quaisquer *a*, *b* e *c*.

 o 2+5=7 e 7=8-1 :> 2+5=8-1
 o 23-5=3 e 3=2+20 :> 23-5=2+20
 o 32+42=52 e 52=25 :> 32+42=25
<R->

  Essa  a propriedade transitiva.

 Princpios de equivalncia

  Vamos conhecer os princpios de equivalncia de uma igualdade. Esses princpios sero
muito teis na resoluo de equaes.
  Esta balana est em equilbrio:

<R+>
 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h dois pesos de 3 e 5 kg e 
no prato da direita um peso de 8 kg_`]
<R->

  Com suas palavras, explique por que a balana est em equilbrio.

<119>
  Vamos adicionar +2 aos dois membros:

<R+>
 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h trs pesos de 3, 5 e 2 kg e 
no prato da direita dois pesos de 8 e 
  2 kg_`]
<R->

 5+3=8 :> `(5+3`)+2=`(8`)+2
 `(5+3`)+2 -- 10
 `(8`)+2 -- 10

  Aqui adicionamos -2 aos dois membros:

<R+>
 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h trs pesos de 3, 5 e -2 kg e 
no prato da direita dois pesos de 8 e 
  -2 kg_`]
<R->

 5+3=8 :> `(5+3`)-2=`(8`)-2
 `(5+3`)-2 -- 6
 `(8`)-2 -- 6
<L>
  Adicionando um mesmo nmero aos dois membros de uma igualdade,
obtemos uma nova igualdade, ou seja:

 a=b :> a+c=b+c

  Agora, vamos multiplicar os dois membros por 2:

<R+>
 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h quatro pesos, dois de 3 kg e dois de 
  5 kg e no prato da direita dois pesos de 8 kg cada_`]
<R->

 5+3=8 :> `(5+3`)2=`(8`)2
 `(5+3`)2 -- 16
 `(8`)2 -- 16

  E aqui vamos multiplicar os dois membros por 12:

<R+>
 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h dois pesos de 1,5 e 2,5 kg e 
no prato da direita um peso de 4 kg_`]
<R->

 5+3=8 :> `(5+3`)12=`(8`)12
 `(5+3`)12 -- 4
 `(8`)12 -- 4

  Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo nmero,
diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja:

 a=b :> ac=bc, com c=0.

 Exerccios

<R+>
 1. Identifique o 1 membro e o 2 membro em
cada igualdade:
 a) 82+2=611 
 b) 132-122=42+32

 2. Partindo das igualdades a seguir, voc e capaz
de dar o valor de *a*?
 a=b 
 b=-7

 o Que propriedade voc usou para dar a resposta?
<R->

 3. Observe:
 
 _`[{a professora diz_`]
  "Escreva a igualdade 20=40x de outra forma."

 _`[{pedro escreve_`]
   "40x=20"

<R+>
 Qual propriedade Pedro usou para escrever a igualdade?

<120>
 4. Na hora de copiar a expresso -1=x+1,
apliquei uma propriedade da igualdade e escrevi
x+1=-1. Eu acertei? Em caso afirmativo,
que propriedade usei?
 5. Partindo das duas igualdades a seguir, tente
escrever uma nova igualdade.
 x=3y 
 3y=z-2

 Qual  essa nova igualdade e que propriedade
justifica a sua resposta?
 6. Observe a igualdade: 7x=21. Se voc multiplicar
o primeiro membro por 17, como dever
escrever o 2 membro para obter uma nova
igualdade?
 7. Se partir da igualdade x+6=8 e adicionar -6
ao 1 membro, como dever escrever o 2 membro,
para que continue existindo uma igualdade?

 8. Se adicionar o nmero -2 aos dois membros
de cada uma das igualdades a seguir, voc
ser capaz de descobrir o valor que a letra x
pode assumir em cada uma delas. Faa isso e
descubra o valor de x em cada item.
 a) x+2=6 
 b) x+2=-1

 9. Se multiplicar por 13 os dois membros das
igualdades a seguir, voc descobrir o valor que
x pode assumir em cada uma delas. Faa isso,
use os conhecimentos j adquiridos e descubra
o valor de x em cada item.
 a) 3x=21 
 b) 3x=-15
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 25 -- Equaes

 Explorando

<R+>
 1. Na sorveteria Geladinho qualquer sorvete
custa R$3,00. Quanto custam:
 a) 5 sorvetes?
 b) 10 sorvetes?
 c) 15 sorvetes?
 d) x sorvetes?

 2. Quando Paulo subiu na balana, o ponteiro
indicou 90 kg. Quantos quilogramas
ele ter, se:
 a) ganhar 10 kg?
 b) ganhar x kg?
 c) perder 5 kg?
 d) perder y kg?

<p>
 3. No ptio da concessionria de Luiz h
30 carros que no foram vendidos.
Quantos carros teriam no estacionamento,
se:
 a) houvesse 3 vezes mais carros?
 b) houvesse *t* vezes mais carros?
 c) a quantidade de carros fosse dividida por 3?
 d) a quantidade de carros fosse dividida por *n*?
<R->

<121>
 Conhecendo as equaes

 _`[{a menina diz_`]
  "Mas, afinal, o que  uma equao?"

  Em uma situao-problema, quando precisamos encontrar o
valor de um ou mais nmeros desconhecidos, transformamos o
texto que apresenta o problema em uma sentena escrita na linguagem
matemtica, usando letras e smbolos.
  Imagine resolver as situaes-problema usando palavras e desenhos.
Parece bastante complicado, no ? Mas durante muito
tempo era assim que as situaes com nmeros desconhecidos
eram resolvidas. O uso de letras para representar os nmeros desconhecidos
facilitou a resoluo de problemas e trouxe enormes
progressos para a Matemtica.
  Quer ver? Acompanhe as situaes a seguir.

<R+>
 1- Passeando com seus netos, Helena percorreu 25 do comprimento total de uma avenida.
Se andasse mais 40 metros, teria percorrido a metade da extenso total da avenida.
Por meio de qual sentena matemtica poderamos obter, em metros, a extenso total
dessa avenida?

 Primeiro precisamos encontrar um certo nmero que represente, em metros, a extenso
total da avenida. Vamos indicar esse nmero pela letra x e fazer um esquema
da situao:

<F->
   x (extenso total)
::::::::::::::::::::::::::::::::o
::::::::::::avenida:::::::::::::::
:::::::::o:::::::o
  25x     40 m
::::::::::::::::::o
 12x (metade da extenso 
  total)
<F+>

 Observando o esquema, fica mais fcil escrever a sentena matemtica:

 25x=40=12x
 25 -- da extenso total
 40 -- 40 m
 12 -- metade da extenso total

 Note que formamos uma sentena matemtica representada por uma igualdade, em
que usamos a letra x para nos referir a um nmero desconhecido dessa sentena.

 2- Um carpinteiro serra uma tbua
de 1 m (ou 100 cm) em dois
pedaos. Um dos pedaos tem
um comprimento igual ao triplo do
comprimento do outro. Que sentena
matemtica poderamos escrever
para calcular o comprimento
de cada pedao?

<122>
 Devemos encontrar dois nmeros que representem, em centmetros, os comprimentos
dos pedaos em que a tbua foi serrada. Como um dos comprimentos  o
triplo do outro (triplo significa trs vezes), podemos indicar o comprimento do menor
pedao pela letra y e o comprimento do maior pedao por 3y.
  Fazendo um esquema da situao, temos:

<F->
        1 m ou 100 cm 
     (comprimento total)
::::::::::::::::::::::::::::::::o
 ::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::o::::::::::::::::::::::o
    y               3y
<F+>

 Observando o esquema, escrevemos a sentena matemtica:

 y+3y=100
 y -- comprimento do pedao menor
 3y -- comprimento do pedao maior
 100 -- comprimento total

 Usamos a letra y para nos referir ao nmero desconhecido nessa sentena representada
por uma igualdade.
<R->

  As sentenas matemticas que escrevemos nas duas situaes so chamadas equaes.

 25x+40=12x
 y+3y=100

  Toda sentena matemtica expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que
representem nmeros desconhecidos dessa sentena,  denominada equao.
  Cada letra que representa um nmero desconhecido chama-se incgnita.

<p>
<R+>
 o A sentena matemtica 2x+1=19  uma equao com uma incgnita representada
pela letra x.
 o A sentena matemtica x-y=20  uma equao com duas incgnitas representadas
pelas letras x e y.
 o Como toda equao  uma igualdade, temos:

 25x+40=12x
 25x+40 -- 1 membro
 12x -- 2 membro

 y+3y=100
 y+3y -- 1 membro
 100 -- 2 membro
<R->

 Observao:
  As sentenas matemticas a seguir no so equaes.
<R+>
 o 32+1=2+23 -- embora seja uma igualdade, no apresenta elemento desconhecido
<p>
 o x+3<20 -- embora apresente elemento desconhecido, no  expressa por uma igualdade

<123>
 Exerccios

 1. A sentena matemtica a seguir  uma
equao? Justifique sua resposta.

 3x+15=81

 2. Dentre as sentenas matemticas a seguir,
quais so equaes?
 x+1=0
 x-1=0
 x-1>0
 x+1<0
 x-1=0
 x=-1

 3. Por que a sentena matemtica a seguir
no  uma equao?

 25+23=2210

<p>
 4. Quantas incgnitas h na equao 34x-12=2x+1?

 5. Escreva a equao correspondente a cada situao:
 a) Um nmero x aumentado de 31  igual a 100.
 b) Subtraindo 8 de um nmero x, obtemos 41.
 c) O dobro do nmero x aumentado de 31  igual a 73.
 d) O triplo do nmero x diminundo de 13 d 47.
 e) A metade do nmero x adicionada  tera parte do mesmo nmero x  igual a 35.
 f) O qudruplo do nmero x  igual ao prprio nmero x aumentado de 72.

 6. Daqui a 10 anos Karina ter 28 anos. Escreva
uma equao que permita calcular a idade
que Karina tem atualmente.
 7. Duas caixas so tais que a massa de uma
delas e o qudruplo da outra. Sabendo que as
duas juntas pesam 20 quilogramas, escreva a
equao que reapresenta esse fato.
 8. Em um terreno retangular, o comprimento
tem 10 metros a mais que a largura. Se representarmos
pela letra x o nmero de metros da largura,
o comprimento ser representado por x+10.
  Sabendo que, nesse terreno, o triplo da largura
 igual ao dobro do comprimento, escreva uma
equao que represente esse fato.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 26 -- Conjunto universo e 
  conjunto soluo de uma equao

 Explorando

  O programa "A escola na
TV" organiza gincanas semanais
entre estudantes. Em um
dos programas foram apresentadas
as questes a seguir. Observe
as opes de respostas, o
tempo mximo para resposta e
a pontuao correspondente a
cada acerto e participe da gincana
resolvendo as questes.

<124>
<R+>
 1. Qual  o nmero cujo triplo mais 6 d 21?
 o Quadro de opes de resposta:

 _`[Quadro adaptado_`]
<F->
!::::::::::::::
l 1 5 2 10 _
l  8 9 4 3 _
h::::::::::::::j
<F+>

 o Tempo para a resposta: 30 segundos.
 o Pontuao: 10 pontos.

 2. A metade de um nmero mais o seu dobro
d 20. Qual  esse nmero?
 o Quadro de opes de resposta:

<p>
 _`[{quadro adaptado_`]
<F->
!:::::::::::::::::::::::::
l     5 7      _         _
l 12 8 15 20 _ 16 24 _
l    18 6      _         _
h::::::::::::::::j:::::::::j
<F+>

 o Tempo para resposta: 1 minuto.
 o Pontuao: 20 pontos.

 3. Um nmero, diminudo do seu triplo, 
igual ao qudruplo do nmero menos
18. Qual  esse nmero?
 o Quadro de opes de resposta:

 _`[{quadro adaptado_`]

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l  5 2 15     _       _
l 1 12 27 36 _ 9 6 _
l  10 3 8     _       _
h::::::::::::::::j:::::::j
<F+>

 o Tempo para resposta: 2 minutos.
<p>
 o Pontuao: 30 pontos.
<R->
<L>
  Quantos pontos
voc conseguiu
fazer nessa
gincana?

  Vamos considerar as seguintes situaes:
<R+>
 1- Qual dos elementos do conjunto A=~l0, 1, 2, 3, 4, 5_, podemos colocar no lugar da letra
x para tornar verdadeira a igualdade x+2=6?
  Fazendo a substituio, temos:

 x+2=6 -- (0)+2=6 (F)
 x+2=6 -- (1)+2=6 (F)
 x+2=6 -- (2)+2=6 (F)
 x+2=6 -- (3)+2=6 (F)
 x+2=6 -- (4)+2=6 (V)
 x+2=6 -- (5)+2=6 (F)
 
 Vemos que o elemento  o nmero 4; os demais no tornam verdadeira a sentena,
ou seja, o 4  o elemento que satisfaz a equao dada.

<p>
 Assim:
 o O conjunto A=~l0, 1, 2, 3, 4, 5_,, formado por todos os elementos que a incgnita
x pode assumir,  denominado conjunto universo da equao.
 o O conjunto ~l4_,, formado pelo elemento de A que satisfaz a equao dada, chama-se conjunto soluo da equao.
 o O nmero 4  a soluo ou raiz da equao.

 Sntese:
 Equao dada: x+2=6
 Conjunto universo: U=~l0, 1, 2, 3, 4, 5_,
 Conjunto soluo: S=~l4_~
 Soluo ou raiz da equao: o nmero 4

<125>
 2- Qual  o nmero natural que podemos colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a
igualdade 3x=15?
<p>
  Fazendo a substituio, vemos que o nmero natural procurado  5, pois:

 3x=15 -- 3(5)=15

 Os demais nmeros naturais no tornam verdadeira a sentena, ou seja, no satisfazem
a equao.

 Assim:
 o O conjunto _n dos nmeros naturais, que representa os valores que a incgnita x
pode assumir,  denominado conjunto universo da equao.
 o O conjunto ~l5_,, formado pelo elemento de _n que torna verdadeira a equao,
chama-se conjunto soluo da equao.
 o O nmero 5 chama-se soluo ou raiz da equao.

 Sntese:
 Equao dada: 3x=15
 Conjunto universo: U=_n
 Conjunto soluo: S=~l5_,
<p>
 Soluo ou raiz da equao: o nmero 5

 3- Qual  o nmero inteiro que podemos colocar no lugar da letra y para tornar verdadeira a
sentena 2y+1=-5?
  Fazendo a substituio, vemos que o nmero inteiro procurado  -3, pois:

 2y+1=-5 -- 2`(-3`)+1=-5

 Sntese:
 Equao dada: 2y+1=-5
 Conjunto universo: U=_z
 Conjunto soluo: S=~l-3_,
 Soluo ou raiz da equao: o nmero -3
<R->

  Pelas situaes apresentadas, voc verifica que, dada uma equao, devemos estabelecer
inicialmente um conjunto numrico formado por todos os valores pelos quais a incgnita
pode ser substituda. Esse conjunto  chamado conjunto universo da equao.
<L>
 Assim:
<R+>
 o Se U=_n, a incgnita pode assumir o valor de qualquer nmero natural.
  _n=~l0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..._,
 o Se U=_z, a incgnita pode assumir o valor de qualquer nmero inteiro.
  _z=~l..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ..._,
 o Se U=_q, a incgnita pode assumir o valor de qualquer nmero racional.
  _q=~lab,a,_z e b,_z*_,
<R->

<126>
  Voc pode verificar, tambm, que o conjunto soluo (S) de uma equao  formado por
todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a igualdade e, por esse
motivo, tambm pode ser chamado conjunto verdade (V) da equao.
  O conjunto soluo pode ter um ou mais elementos, podendo ser 
<p>
tambm um conjunto vazio.
  Observe mais estes exemplos:

<R+>
 1- Qual  o conjunto soluo da equao x-12=0, sendo U=_z?
 Equao: x-12=0
 Conjunto universo: U=_z
 Conjunto soluo: como nenhum nmero inteiro satisfaz a equao dada, o conjunto soluo  vazio. Indica-se: S=_j.
 Soluo ou raiz: a equao no tem raiz no conjunto _z.

 2- Qual  o conjunto soluo da equao x-12=0, sendo U=_q?
 Equao: x-12=0
 Conjunto universo: U=_q
 Conjunto soluo: S=~l12_,
 Soluo ou raiz: 12

 Como verificar se um nmero dado  raiz de uma equao
<R->

  Para verificar se um nmero dado  raiz ou no de uma equao, fazemos assim:
<p>
<R+>
 o substitumos a incgnita pelo nmero dado;
 o calculamos o valor numrico de cada membro da igualdade obtida, separadamente.
<R->
  Se a igualdade obtida for verdadeira, o nmero dado ser raiz da equao; se for falsa, o
nmero dado no ser raiz da equao.
  Exemplos:

<R+>
 1- Verificar se -6  raiz da equao 3x-5=5x+7.

 :> substitumos a incgnita x pelo nmero -6

 3x-5=5x+7
  3`(-6`)-5=5`(-6`)+7 
  -18-5=-30+7
  -23=-23 -- a sentena  verdadeira
 
 Logo, -6  raiz da equao 3x-5=5x+7.

<p>
 2- Verificar se 2  raiz da equao y2-5y=3y+6.

 :> substitumos a incgnita y pelo nmero 2

 y2-5y=3y+6
 `(2`)2-5(2)=3(2)+6 
 4-10=6+6
 -6=12 -- a sentena  falsa

 Logo, o nmero 2 no  raiz da equao y2-5y=3y+6.

<127>
 Exerccios

 1. Determine o conjunto soluo de cada uma
das seguintes equaes:
 a) x-7=0, U=_n
 b) x+9=0, U=_z
 c) x-38=0, U=_q
 d) x+1=0, U=_n
 e) x-10=3, U=_q
 f) x-6=-10, U=_q
 g) 2x=-16, U=_z
 h) 4x=-40, U=_q
 i) 8x=-8, U=_z
 j) 8x=-8, U=_q
 k) x3=4, U=_n
 l) x+13=23, U=_q

 2. Verifique se:
 a) 5  raiz da equao 7x-6=5x+4.
 b) 6  raiz da equao 3x-1=x6+20.
 c) -85  raiz da equao 8+5x=0.
 d) -2  raiz da equao y2-3y=8-y.
 e) 23  raiz da equao 2x+16=3x-12.

 3. Dentre os nmeros 0, 1, 2 e 3, quais so razes
da equao x2-5x+6=0?
 4. Qual dos nmeros a seguir  raiz da equao 2x-12=3x-
  -23?
 12
 13
 16
<p>
 5. O nmero -5  raiz da equao 3`(x+2`)-5`(x+3`)=1. Essa afirmao  correta? Por qu? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
 27 -- Equaes equivalentes

 Como reconhecer se duas ou mais equaes so equivalentes
<R->

  Um nmero pode ser representado de diferentes formas.
  Por exemplo, representando o nmero 9 de diferentes maneiras:

 32 
 23+1 
 52-42 
 182 
 6+3 
 10-1

  A maneira mais simples de todas , simplesmente, 9.
  Fato semelhante ocorre com as equaes. Veja a seguir.
<L>
 o Considere as equaes, sendo 
  U=_q:

 x+3=10 -- S=~l7_,
 x=10-3 -- S=~l7_,
 x=7 -- S=~l7_,

  Todas essas equaes
apresentam a mesma
soluo ou raiz, que 
o nmero 7.

  As equaes x+3=10, x=10-3 e x=7 apresentam a mesma raiz ou soluo. Por
esse motivo so chamadas equaes equivalentes.
  A forma mais simples de representar essas equaes  x=7.

<128>
<R+>
 o Veja, agora, as equaes, sendo U=_q:
<R->

 2x=10 -- S=~l5_,
 x=102 -- S=~l5_,
 x=5 -- S=~l5_,

<p>
  Todas essas equaes apresentam a mesma soluo ou raiz, que  o nmero 5.

  As equaes 2x=10, x=102 e x=5 apresentam a mesma raiz ou soluo. Por esse
motivo so chamadas equaes equivalentes.
  A forma mais simples de representar essas equaes  x=5.

  Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equaes que apresentam o mesmo conjunto soluo (no-vazio) so denominadas
equaes equivalentes.

<R+>
 Como escrever uma equao 
  equivalente a uma equao 
  dada: os princpios de 
  equivalncia
<R->

  Podemos escrever uma equao equivalente a uma equao dada por meio de algumas
transformaes baseadas nos princpios de equivalncia.
  Vamos ilustrar os princpios de equivalncia, utilizando as seguintes figuras:

<R+>
 _`[{figura: uma balana em equilbrio, um peso com a 
letra x "equivale a x massa (em quilogramas)" 
e um peso pequeno com o nmero 1 "equivale a 1"_`]

  Voc j viu que:
 o se a=b, ento a+c=b+c (princpio aditivo).
 o se a=b, ento ac=bc, com c=0 (princpio multiplicativo).

  Observe os exemplos:
 1- obter uma equao equivalente  equao x+3=8, escrita na sua forma mais simples.

 o Supondo que x, 3 e 8 so os pesos
colocados nos pratos de uma balana
em equilbrio, temos:

 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h quatro pesos, um grande com a 
letra x e trs pequenos com o nmero 1, 
no prato da direita oito pesos pequenos com o nmero 1_`]

 x+3=8 -- S=~l5_,

 o Se colocarmos mais uma unidade
em cada prato da balana, ela permanecer
em equilbrio e teremos a
seguinte situao:

 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h cinco pesos, um grande com a 
letra x e quatro pequenos com o nmero 1, no prato da 
direita nove pesos pequenos com o nmero 1_`]

 x+4=9 -- S=~l5_,

<129>
 Veja o que fizemos:
 x+3=8 -- equao dada, para a qual S=~l5_,
 x+3+1=8+1 -- somamos 1 aos dois membros da equao
 x+4=9 -- equao equivalente  equao dada, pois S=~l5_,

 o Se retirarmos trs unidades da quantidade inicial de cada prato da balana, teremos:

_`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h um peso grande com a 
letra x, no prato da 
direita cinco pesos pequenos com o nmero 1_`]

 x=5 -- S=~l5_,

 Veja o que fizemos:
 x+3=8 -- equao dada, para a qual S=~l5_,
 x+3+`(-3`)=8+`(-3`) -- adicionamos `(-3`) aos dois membros da equao
 x+3-3=8-3 -- anulamos nmeros opostos que esto no mesmo membro
 x=5 -- equao elementar equivalente  equao dada, pois S=~l5_,

 As equaes x+3=8 e x=5 so equivalentes, pois ambas apresentam a mesma
soluo (o nmero 5).
 A forma mais simples de escrever a equao x+3=8  x=5.
 Observe que, para obter a equao x=5, equivalente  equao dada, adicionamos
um mesmo nmero aos dois membros da equao x+3=8.
 Esse fato caracteriza o princpio aditivo das equaes.

 2- Obter uma equao equivalente  equao 2x=12, escrita na sua forma mais simples.

 o Supondo que 2x e 12 sejam pesos
colocados em pratos de uma balana
em equilbrio, temos:

 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h dois pesos grandes com a 
letra x, no prato 
<p>
  da direita doze pesos pequenos com o nmero 1_`]

 2x=12 -- S=~l6_,

 o Se dobrarmos (multiplicarmos por 2) a
quantidade de pesos em cada prato, a
balana permanecer em equilbrio e teremos
a seguinte situao:

 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h quatro pesos grandes com a 
letra x, no prato da 
direita vinte e quatro pesos pequenos com o nmero 1_`]

 4x=24 -- S=~l6_,

 Veja o que fizemos:
 2x=12 -- equao dada, para a qual S=~l6_,
 2`(2x`)=212 -- multiplicamos os dois membros da equao por 2
 4x=24 -- equao equivalente  equao dada, pois S=~l6_,

<130>
 o Agora vamos deixar a metade dos
pesos da quantidade inicial em cada
prato, o que significa multiplicar a
quantidade inicial por 12. Observe
que a balana continuar em equilbrio.

 _`[{uma balana em equilbrio. No prato 
da esquerda h um peso grande com a 
letra x, no prato da 
direita seis pesos pequenos com o nmero 1_`]

 x=6 -- S=~l6_,
 
 Veja o que fizemos:
 2x=12 -- equao dada, para a qual S=~l6_,
 12`(2x`)=12`(12`) -- multiplicamos os dois membros da equao por 12
 x=6 -- equao elementar equivalente  equao dada, pois S=~l6_,

 As equaes 2x=12 e x=6 so equivalentes, pois apresentam a mesma soluo
(o nmero 6). A forma mais simples de escrever a equao 2x=12  x=6.
 Observe que, para obter a equao x=6, equivalente  equao dada, multiplicamos
os dois membros da equao 2x=12 por um mesmo nmero, diferente de zero.
 Esse fato caracteriza o princpio multiplicativo das equaes.

 3- Obter uma equao equivalente a 3x+10=4x, escrita na sua forma mais simples.
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos -10 aos dois membros da equao,
obtendo uma equao equivalente  equao dada:

 3x+10=4x
 3x+10-10=4x-10
 3x+0=4x-10
 3x=4x-10

<p>
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos -4x aos dois membros da equao,
obtendo uma equao equivalente  anterior:

 3x=4x-10
 3x-4x=4x-10-4x
 3x-4x=0-10
 -1x=-10

 Como 1x=x (elemento neutro da multiplicao), temos -1x=-x e, ento,
podemos escrever:

 -1x=-10
 -x=-10

 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros por -1, obtendo
uma equao mais simples e equivalente  equao dada:

 -x=-10
 -x`(-1`)=-10`(-1`)
 x=10

<p>
 As equaes 3x+10=4x e x=10 so equivalentes, pois apresentam a mesma
soluo (o nmero 10), e x=10  a forma mais simples de escrever a equao
3x+10=4x.

<131>
 4- Obter uma equao equivalente  equao x4=16, escrita na sua forma mais simples.
  Vamos reduzir todos os termos da equao ao mesmo denominador, usando equivalncia
de fraes:

 x4=16 :> 3x12=212 

 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros por 12, obtendo
uma equao equivalente e sem denominadores:

 3x12=212
 3x12`(12`)=212`(12`)
 3x=2

<p>
 o Aplicando novamente o princpio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros
por 13, obtendo uma equao equivalente:

 3x`(13`)=2`(13`)
 1x=23
 x=23

 As equaes x4=16 e x=23 so equivalentes, pois apresentam a mesma soluo
(o nmero 23), e x=23  a forma mais simples de escrever a equao x4=16.

 5. Obter uma equao equivalente a 5x+1=21, escrita na sua forma mais simples.
 o Aplicando o princpio aditivo, adicionamos -1 aos dois membros da equao e
teremos uma equao equivalente:

<p>
 5x+1=21
 5x+1-1=21-1
 5x+0=21-1
 5x=20

 o Aplicando o princpio multiplicativo, multiplicamos os dois membros da equao
por 15 e teremos uma equao equivalente:

 5x=20
 5x`(15`)=20`(15`)
 1x=4
 x=4

 As equaes 5x+1=21 e x=4 so equivalentes, pois apresentam a mesma
soluo (o nmero 4), e x=4  a forma mais simples de escrever a equao
5x+1=21.

<132>
<p>
 Exerccios

 1. Considerando os pares de equaes em
cada item, verifique se so ou no equivalentes
no universo _q:
 a) x+4=7 e x=7-4.
 b) x+2=9 e x=7.
 c) x-5=0 e x=-5.
 d) 2x=18 e x=9.
 e) 5x=-15 e x=3.
 f) x-1=-3 e x=-2.
 g) 4x=16 e x=4.
 h) x+2=-5 e x=-7.

 2. Usando os princpios de equivalncia, escreva,
na forma mais simples possvel, uma
equao equivalente a cada uma das equaes
a seguir no universo _q.
 a) x+2=5 
 b) x-11=0 
 c) 4x=-8 
 d) x-2=-1 
 e) 6x=6 
 f) 4x=3x+9 
 g) 3x=7
 h) 5x+1=16
 i) x4=310
 j) 10x-2=7x
 k) 6x+5=6
 l) 8x+4=0
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Terceira Parte